在线等初等数论题x^3+4x^2+19x+1≡0(mod25)

Question

在线等初等数论题
x^3+4x^2+19x+1≡0(mod25)

Answer 1

因为x^3+4x^2+19x+1≡0(mod25)
所以x^3-x^2+5x^2-5x+24x-24+25≡0(mod25)
所以(x^2+5x+24)(x-1)≡0(mod25)
而x^2+5x+24≡x^2-1≡(x+1)(x-1)(mod 5)
所以①当x≡1(mod 5)时,5|x^2+5x+24且5|x-1,因此(x^2+5x+24)(x-1)≡0(mod25)
而②当x≡1(mod 5)不成立时,x^2+5x+24≡0(mod25)
即x^2+5x-1≡0(mod25)
而此时有x^2+5x+24≡x^2-1≡(x+1)(x-1)(mod 5),而x≡1(mod 5)不成立,
所以x≡-1(mod 5),故设x=5n-1,则
(5n-1)^2+5(5n-1)-1≡0(mod25)
-10n+1-5-1≡0(mod25)
2n+1≡0(mod5)
n≡2(mod5)
所以x=5n-1≡9(mod25)
综合①②得x≡9(mod25)或x≡1(mod5).