一元二次方程难题设关于x的二次方程(a-1)x^2-(a^2+2)x+(a^2+2a)=0及(b-1)x^2-(b^2+2)x+(b^2+2b)=0有一个公共根（其中a、b都是正整数,且a不等于b）,求下图这个分式的值.

Question

一元二次方程难题
设关于x的二次方程(a-1)x^2-(a^2+2)x+(a^2+2a)=0及(b-1)x^2-(b^2+2)x+(b^2+2b)=0有一个公共根（其中a、b都是正整数,且a不等于b）,求下图这个分式的值.

Answer 1

将上面两个方程左边可分解因式得到如下两个方程：
[(a-1)x-(a+2)](x-a)=0 (1)
[(b-1)x-(b+2)](x-b)=0 (2)
易知a、b都不为1
方程（1）的根为x=a,x=(a+2)/(a-1)
方程（2）的根为x=b,x=(b+2)/(b-1)
因为方程有一公共根,且a不等于b,
所以a=(b+2)/(b-1) 或 b=(a+2)/(a-1)
两个式子化简都为ab-a-b=2
即（a-1)(b-1)=3
又a、b都是正整数,所以a-1,b-1均为3的约数
a-1=1,b-1=3；或a-1=-1,b-1=-3；或a-1=3,b-1=1；或a-1=-3,b-1=-1；
所以有如下四种情况
a=2,b=4
a=0,b=-2
a=4,b=2,
a=-2,b=0
结合你所求分式有意义条件,a,b均不能为0
你所求的分式可以化简为1/[(a^b)*(b^a)]=1/256