一凌长为1的正方体内接于O,上底四个顶点在球面上、下底四个顶点落在半球底面上,则半球的表面积（不含半球的底面）为

Question

一凌长为1的正方体内接于O,上底四个顶点在球面上、下底四个顶点落在半球底面上,则半球的表面积（不含半球的底面）为

Answer 1

由题,设正方形棱长为a=1,半球半径为R.
半球底面圆心O即为正方形底面中心,设A为正方形上底的任意一个顶点(则A在球面上),P为上底中心,依次连接AO,OP,AP
易得△AOP为Rt△,OP=a=1,AO=R,AP=√(2a^2)/2=√2/2
在△AOP内,勾股定理,OP^2+AP^2=AO^2
代入得 R=√6/2
因此半球的表面积=4πR^2/2=3π