已知,矩形ABCD中,AB=8cm,BC=16cm,AC的垂直平分线EF分别交AD,BC于点E,F,垂足为O（1）如图1,连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长；（2）如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各

Question

已知,矩形ABCD中,AB=8cm,BC=16cm,AC的垂直平分线EF分别交AD,BC于点E,F,垂足为O
（1）如图1,连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长；
（2）如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中,
①已知点P的速度为每秒10cm,点Q的速度为每秒8cm,运动时间为t秒,当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm,ab≠0）,已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形,求a与b满足的数量关系式．
 

Answer 1

（1）证明：①∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE,
∵EF垂直平分AC,垂足为O,∴OA=OC,
∴△AOE≌△COF,∴OE=OF,∴四边形AFCE为平行四边形,
又∵EF⊥AC,∴四边形AFCE为菱形,
②设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=（8-x）cm,
在Rt△ABF中,AB=4cm,由勾股定理得42+（8-x）2=x2,解得x=5,
∴AF=5cm．
（2）①显然当P点在AF上时,Q点在CD上,此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时,Q点在DE或CE上,也不能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC=QA,
∵点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,
∴PC=5t,QA=12-4t,
∴5t=12-4t,解得t=4/3,
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=4/3秒．
②由题意得,以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,点P、Q在互相平行的对应边上．分三种情况：
i）当P点在AF上、Q点在CE上时,AP=CQ,即a=12-b,得a+b=12；
ii）当P点在BF上、Q点在DE上时,AQ=CP,即12-b=a,得a+b=12；
iii）当P点在AB上、Q点在CD上时,AP=CQ,即12-a=b,得a+b=12．
综上所述,a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．