在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm若把矩形折叠,使B与点D重合.求：折痕EF的长.告诉我怎样求BEFD是菱形

Question

在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm若把矩形折叠,使B与点D重合.求：折痕EF的长.告诉我怎样求BEFD是菱形

Answer 1

方法一：
不失一般性,设E、F分别在AD、BC上.
显然有：B、D关于EF对称,∴EF为BD的垂直平分线,∴BO＝DO＝BD/2.
∵ABCD是矩形,∴AD⊥AB、AD＝BC＝8cm,
∴由勾股定理,有：BD＝√（AD^2＋AB^2）＝√（64＋36）＝10（cm）,∴DO＝5cm.
∵∠EDO＝∠BDA、∠DOE＝∠DAB＝90°,∴△DOE∽△DAB,∴EO/AB＝DO/AD,
∴EO＝AB×DO/AD＝6×5/8＝（15/4）（cm）.
∵ABCD是矩形,∴DE∥FB,∴∠DEF＝∠BFE.
∵EO⊥BD、BO＝DO,∴∠DEF＝∠BEF,∴∠BEF＝∠BFE,∴BE＝BF.
由BE＝BF、BO⊥EF,得：EF＝2EO＝（15/2）cm.
方法二：
不失一般性,设E、F分别在AD、BC上.
过A作AG∥EF交BC于G,令AG与BD相交于H.
∵ABCD是矩形,∴AD⊥AB、AD＝BC＝8cm.
由勾股定理,有：BD＝√（AD^2＋AB^2）＝√（64＋36）＝10（cm）.
由三角形面积公式,有：△ABD的面积＝（1/2）BD×AH＝（1/2）AD×AB,
∴AH＝AD×AB/BD＝8×6/10＝（24/5）（cm）.
∵ABCD是矩形,∴AB⊥BG,∴由射影定理,有：AH×AG＝AB^2＝36,
∴AG＝36/（24/5）＝（15/2）（cm）.
∵ABCD是矩形,∴AE∥GF,又AG∥EF,∴AEFG是平行四边形,∴EF＝AG＝（15/2）cm.