已知正方形ABCD,E是AB的中点,F是AD上一点,且AF=1/4AD,EG⊥CF于点G.求证：CE平分∠BCF；求证:1/4AB的方=CG·FG

Question

已知正方形ABCD,E是AB的中点,F是AD上一点,且AF=1/4AD,EG⊥CF于点G.
求证：CE平分∠BCF；求证:1/4AB的方=CG·FG

Answer 1

设正方形边长AB=4,
AE=EB=2,AF=1,FD=3,
∴EF=√（1²+2²）=√5,
（1）EC=√（2²+4²）=2√5,
∴△AEF∽△BCE.
∴∠AEF=∠BCE,
又△AEF=1,△BCE=4,
△CDF=6,∴△CEF=16-1-4-6=5,
由CF=√（3²+4²）=5,
∴EG=5×2÷5=2.
∴BE=GE=2,
∴△EBC≌△EGC（A,A,S）
∴CE平分∠BCF.
（2）
由CF=5,CG=BC=4,∴FG=5-4=1,
1/4·AB²=4,
CG·FG=4×1=4,
∴1/4AB=CG·FG,
证毕.