如图,在正方形ABCD中,AB=4,E为CD上一动点,AE交BD于F,过F作FH⊥AE交BC于H,过H作GH⊥BD于G,求①∠HAE=45°,②BD=2FG,③△CEH的周长为定值.

Question

如图,在正方形ABCD中,AB=4,E为CD上一动点,AE交BD于F,过F作FH⊥AE交BC于H,过H作GH⊥BD于G,求①∠HAE=45°,②BD=2FG,③△CEH的周长为定值.

Answer 1

（1）连接FC,延长HF交AD于点L,
∵BD为正方形ABCD的对角线,
∴∠ADB=∠CDF=45°．
∵AD=CD,DF=DF,
∴△ADF≌△CDF．
∴FC=AF,∠ECF=∠DAF．
∵∠ALF+∠LAF=90°,
∴∠LHC+∠DAF=90°．
∵∠ECF=∠DAF,
∴∠FHC=∠FCH,
∴FH=FC．
∴FH=AF．
∵FH⊥AE,FH=AF,
∴∠HAE=45°．
（2）连接AC交BD于点O,可知：BD=2OA,
∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH,
∴∠AFO=∠GHF．
∵AF=HF,∠AOF=∠FGH=90°,
∴△AOF≌△FGH．
∴OA=GF．
∵BD=2OA,
∴BD=2FG．
（3）延长AD至点M,使AD=DM,过点C作CI∥HL,则：LI=HC,
根据△MEC≌△MIC,可得：CE=IM,
同理,可得：AL=HE,
∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．
∴△CEH的周长为8,为定值．