已知定点A﹙1,1﹚,B﹙3,3﹚,动点P在x轴正半轴上,若∠APB取得最大值,则P点的坐标为?设P(x,0).观察可知：当点P在x轴正半轴上时,∠APB取可得最大值.tan∠APx=1/(1-x),tan∠BPx=3/(3-x),tan∠APB=tan(∠APx-∠BPx)

Question

已知定点A﹙1,1﹚,B﹙3,3﹚,动点P在x轴正半轴上,若∠APB取得最大值,则P点的坐标为?
设P(x,0).观察可知：当点P在x轴正半轴上时,∠APB取可得最大值.
tan∠APx=1/(1-x),tan∠BPx=3/(3-x),
tan∠APB=tan(∠APx-∠BPx)=[ 1/(1-x)- 3/(3-x)]/[1+3/((1-x) (3-x))]
=[(3-x)- 3(1-x)]/[ (1-x) (3-x)+3]
=2x/(x²-4x+6)=2/[x+6/x-4]
因为x>0,所以x+6/x≥2√6 (x=√6时取到等号).
x+6/x-4≥2√6-4,2/[x+6/x-4]≤2/[2√6-4]=(√6+2)/2.
tan∠APB≤(√6+2)/2.
∴当∠APB取得最大值是,P点的坐标是(√6,0).
最后一步是怎么来的?

Answer 1

因为x>0,所以x+6/x≥2√6 (x=√6时取到等号).
上文有提到的,因为x=√6时∠APB取得最大值所以P点的坐标是(√6,0).