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已知四边形EFGH,由矩形ABCD的外角平分线围成,求证:四边形EFGH是正方形
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已知四边形EFGH,由矩形ABCD的外角平分线围成,求证:四边形EFGH是正方形
▼优质解答
答案和解析
∵ABCD是矩形
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°
AB=CD,BC=AD
∴ABCD是矩形的外角也是90°
∴矩形ABCD的外角平分线,把外角平分成两个45°角
∴△ABE、△BCF、△CBG、△ADH是等腰直角三角形
且△ABE≌CDG,△BCF≌△ADH
∴∠F=∠G=∠H=∠E=90°
FC=FB=HD=HA
EA=EB=GC=GD
∴四边形EFGH是矩形
EB+FB=FC+GC=GD+HD=HA+EA
即EF=FG=GH=HE
∴矩形EFGH是正方形
∵ABCD是矩形
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°
AB=CD,BC=AD
∴ABCD是矩形的外角也是90°
∴矩形ABCD的外角平分线,把外角平分成两个45°角
∴△ABE、△BCF、△CBG、△ADH是等腰直角三角形
且△ABE≌CDG,△BCF≌△ADH
∴∠F=∠G=∠H=∠E=90°
FC=FB=HD=HA
EA=EB=GC=GD
∴四边形EFGH是矩形
EB+FB=FC+GC=GD+HD=HA+EA
即EF=FG=GH=HE
∴矩形EFGH是正方形
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