在四面体ABCD中,DA=DB=DC,DA垂直DC,角ADB=角BDC=60,求证.平面ADC垂直平面ABC

Question

在四面体ABCD中,DA=DB=DC,DA垂直DC,角ADB=角BDC=60,
求证.平面ADC垂直平面ABC

Answer 1

如图,此题的证明方式也是通过证明经过一条垂直于另一个平面的直线的平面,这个平面也垂直与另一个平面
假设DA=DB=DC=2,过D做DE⊥AC,再连接BE,由DA=DC且DA⊥DC,知△ADC是等边直角三角形,所以根据DE⊥AC,知DE=√2,AC=2√2,
而由DA=DB=DC,角ADB=角BDC=60,可知△ABD和△BDC为等边三角形,所以可知AB=BC=DA=DB=DC=2,
这样就知道了△ABC的三边,根据余弦定理,可知∠ABC=90°,也为直角三角形,E为AC中点,可知BE为高,直角△ABC中BE=√2,这样再根据余弦定理,知△BED也为直角三角形,所以DE⊥BE
所以,DE⊥BE,DE⊥AC,DE不再平面ABC内,可知DE⊥平面ABC,而DE在平面ADC内,所以平面ADC⊥平面ABC