计算∮l（y^2+2z）ds,其中l为x^2+y^2+z^2=r^2,x+y+z=0的交线

Question

计算∮l（y^2+2z）ds,其中l为x^2+y^2+z^2=r^2,x+y+z=0的交线

Answer 1

由对称性,∮xds＝∮yds＝∮zds,∮x^2ds＝∮y^2ds＝∮z^2ds
所以,∮(y^2＋2z)ds＝1/3×∮(x^2＋y^2＋z^2＋2x＋2y＋2z)ds＝1/3×∮ r^2ds
因为平面x+y+z＝0经过球面x^2+y^2+z^2＝r^2的球心,所以曲线L是一个圆周,半径为r,所以
∮(y^2＋2z)ds＝1/3×∮(x^2＋y^2＋z^2＋2x＋2y＋2z)ds＝1/3×∮ r^2ds＝1/3×r^2×2πr＝2πr^3/3