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计算∮l(y^2+2z)ds,其中l为x^2+y^2+z^2=r^2,x+y+z=0的交线
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计算∮l(y^2+2z)ds,其中l为x^2+y^2+z^2=r^2,x+y+z=0的交线
▼优质解答
答案和解析
由对称性,∮xds=∮yds=∮zds,∮x^2ds=∮y^2ds=∮z^2ds
所以,∮(y^2+2z)ds=1/3×∮(x^2+y^2+z^2+2x+2y+2z)ds=1/3×∮ r^2ds
因为平面x+y+z=0经过球面x^2+y^2+z^2=r^2的球心,所以曲线L是一个圆周,半径为r,所以
∮(y^2+2z)ds=1/3×∮(x^2+y^2+z^2+2x+2y+2z)ds=1/3×∮ r^2ds=1/3×r^2×2πr=2πr^3/3
所以,∮(y^2+2z)ds=1/3×∮(x^2+y^2+z^2+2x+2y+2z)ds=1/3×∮ r^2ds
因为平面x+y+z=0经过球面x^2+y^2+z^2=r^2的球心,所以曲线L是一个圆周,半径为r,所以
∮(y^2+2z)ds=1/3×∮(x^2+y^2+z^2+2x+2y+2z)ds=1/3×∮ r^2ds=1/3×r^2×2πr=2πr^3/3
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