已知双曲线C的中心在坐标原点,焦点在X轴上离心率e=根号2,焦点到渐近线的距离为1（1）求双曲线C的方程（2）设直线l过点A(0,1)且斜率为k（k＞0）在双曲线C的右支上是否存在唯一点B,它到直线l

Question

已知双曲线C的中心在坐标原点,焦点在X轴上离心率e=根号2,焦点到渐近线的距离为1
（1）求双曲线C的方程（2）设直线l过点A(0,1)且斜率为k（k＞0）在双曲线C的右支上是否存在唯一点B,它到直线l的距离等于1,.若存在,则求出符合条件的所有K的值及相应点B的坐标肉不存在,说明理由

Answer 1

解；e=c/a=根2,焦点（c,0）,渐近线；x/a+-y/b=0 (c/a+0/b)/根(1/a^2+1/b^2)=1 a^2+b^2=c^2 c^2=2a^2 b^2=a^2=c^2/2 a^2=b^2=1 双曲线方程；x^2--y^2=1
(2) 设过A的直线方程；(y-1)/x=k 与该直线平行距离为1,且在该直线下方的直线方程是：
y=kx+1--根(k^2+1) 代入双曲线方程 (bx/a)^2--(kx+1--根(k^2+1))^2=b^2 x>0
x^2--(kx+1--根(k^2+1))^2=1 x^2>1 3--2根(k^2+1)=0 k=0.5*根5
所以；符合条件的K是：k=0.5*根5 符合条件的过A的直线方程：y= 0.5x*根5 +1
这个在右双曲线上,唯一点的坐标是：（根5,2）
结合数形,可以判断这种直线应该有两条,另一条可能是斜率无穷大,不存在,无法从刚才的计算中得到,此直线应该是：y=o （ 右顶点（1,0）到Y抽距离等于1.）