双曲线中心在原点,焦点在y 轴上,离心率为根号5除以2,已知p(0,5)到双曲线上的点最近距离2,求双曲线方程

Question

双曲线中心在原点,焦点在y 轴上,离心率为根号5除以2,已知p(0,5)到双曲线上的点最近距离2,求双曲线方程

Answer 1

y^2/a^2-x^2/b^2=1
令w=(x-0)^2+(y-5)^2
wmin=2^2=4
w=x^2+(y-5)^2=(b^2/a^2)y^2-b^2+(y-5)^2
最小时dw/dy=2y(b^2/a^2)+2(y-5)=0
y=5a^2/(a^2+b^2)=5a^2/c^2=5/e^2=5/(5/4)=4
wmin=(b^2/a^2)*4^2-b^2+(4-5)^2=4 (1)
又(b^2+a^2)/a^2=5/4 (2)
联立(1)(2) a^2=4 b^2=1
y^2/4-x^2=1