数学行列式a b 0 ... 0 0 0 a b ... 0 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 ... a b b 0 0 ... 0 a用定义法 怎么做 ,没有理解清楚,为什么 按定义的展开中只有2项不为0 ?不理解 另外我知道 (-1)^t(234...n1) b^n 怎么还要加a

Question

数学行列式a b 0 ... 0 0 0 a b ... 0 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 ... a b b 0 0 ... 0 a
用定义法 怎么做 ,没有理解清楚,为什么 按定义的展开中只有2项不为0 ?不理解 另外我知道 (-1)^t(234...n1) b^n 怎么还要加a^n 即这答案怎么来的a^n + (-1)^t(234...n1) b^n 具体过程 详解说明 谢谢!

Answer 1

a b 0 ... 0 0
0 a b ... 0 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 0 ... a b
b 0 0 ... 0 a
是这样子吧
根据行列式的定义, 展开式中的一项由行列式中位于不同行不同列的n个元素的乘积构成
或者说每行每列恰取一个元素相乘
第一行有a, b两种取法
先考虑第一行取a, 那么 第2列只能取a (这是因为第2列的b与第一行的a在同一行)
同理, 第3列也只能取a, . 如此下去得n个a相乘的一项
其符号为 (-1)^t(123...n) = 1 为正
再考虑第一行取b时, 第二行只能取b, ., 第n行只能取b
得b^n, 这n个b位于第2列,3列,...,n列, 1列
其符号为 (-1)^t(234...n1) = (-1)^(n-1)
所以 D = a^n + (-1)^(n-1) b^n