证明函数f（x）=x+4x在区间（0，2]上是减函数．

Question

证明函数f（x）=x+(4)/(x)在区间（0，2]上是减函数．

Answer 1

证明：设∀x₁、x₂，且0＜x₁＜x₂≤2，
f(x1)−f(x2)＝(x1+(4)/(x1))−(x2+(4)/(x2))=(x1−x2)+(4(x2−x1))/(x1x2)=(x1−x2)(1−(4)/(x1x2))，
∵0＜x₁≤2，0＜x₂≤2，x₁＜x₂，
∴0＜x₁x₂＜4，∴(1)/(x1x2)＞(1)/(4)，∴(4)/(x1x2)＞1，
∴1−(4)/(x1x2)＜0，且x₁-x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）在（0，2]上为减函数．