一道高一数学练习题（属于 平面向量的数量积及运算律 范围内）设 a 是非零向量,且 b ≠ c ,求证：a • b ＝ a • c ⇔ a ⊥ (b － c ).( 符号 ⇔ 是“等价于”的意思,再或者是“充要

Question

一道高一数学练习题（属于 平面向量的数量积及运算律 范围内）
设 a 是非零向量,且 b ≠ c ,求证：
a • b ＝ a • c ⇔ a ⊥ (b － c ).( 符号 ⇔ 是“等价于”的意思,再或者是“充要条件”的意思.)

Answer 1

证法一：
a• b＝a• ca• b－a• c＝0
a• (b－c)＝0
a⊥(b－c)
证法二：
设a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),c＝(x3,y3)
先证a• b＝a• c＝>a⊥(b－c)
a• b＝x1x2＋y1y2
a• c＝x1x3＋y1y3
由a• b＝a• c得：
x1x2＋y1y2＝x1x3＋y1y3
即：x1(x2－x3)＋y1(y2－y3)＝0
而b－c＝(x2－x3,y2－y3)
∴a• (b－c)＝0
再证a⊥(b－c)＝＞a• b＝a• c
由a• (b－c)＝0得：
x1(x2－x3)＋y1(y2－y3)＝0
即：x1x2＋y1y2＝x1x3＋y1y3
∴a• b＝a• c