已知方阵A,B满足A^2=A,(A+B)^2=A^2+B^2.证明:AB=0.

Question

已知方阵A,B满足A^2=A,(A+B)^2=A^2+B^2.证明:AB=0.

Answer 1

(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2,所以由(A+B)^2=A^2+B^2知
AB+BA=0.(1)
一方面,A(AB+BA)=0,即A^2*B+ABA=0,再由A^2=A知
AB+ABA=0.(2)
另一方面,(AB+BA)A=0,即ABA+B*A^2=0,再由A^2=A知
ABA+BA=0.(3)
(1)+(2)-(3),得2AB=0,所以AB=0