椭圆中心在原点上,焦点在X轴上,离心率是根号3/2,他与直线X+Y=1交予P、Q,OP垂直于OQ,求椭圆方程

Question

椭圆中心在原点上,焦点在X轴上,离心率是根号3/2,他与直线X+Y=1交予P、Q,OP垂直于OQ,求椭圆方程

Answer 1

设椭圆方程为
x²/a²+y²/b²=1 （a>b>0)
则c=√（a²+b²）
离心率e=a/c=√3/2
化简得
a²=3b²
所以椭圆方程变为
x²/3b²+y²/b²=1
与直线方程x+y=1联立解得
4x²-6x+3-3b²=0 ①
设P（x1,y1）,Q（x2,y2）
由于OP⊥OQ
则
y1/x1*y2*x2=-1
即
x1x2+y1y2=0 ④
由方程①得
x1x2=（3-3b²）/4 ②
x1+x2=6/4=3/2
y1y2=（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+x1x2=1-3/2+（3-3b²）/4=（1-3b²）/4 ③
将②③代入④得
4-4b²=0
b²=1
所以a²=3b²=3
所以椭圆方程为
x²/3+y²=1