已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆与直线x+y=1相交于A,B两点,且AB=2√2,连结AB的中点与原点的直线斜率为√2/2,求椭圆方程.

Question

已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆与直线x+y=1相交于A,B两点,且AB=2√2,连结AB的中点与原点的直线斜率为√2/2,求椭圆方程.

Answer 1

可以先假设焦点在x轴上,设该椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1.①
直线方程 x+y=1.②
联立①② 可得(a^2+b^2)x^2-2(a^2)x+a^2-a^2b^2=0
x1+x2=-(-2a^2)/(a^2+b^2)=2a^2/a^2+b^2 x1*x2=(a^2-a^2b^2)/a^2+b^2
同理可得出y1+y2=2b^2/a^2+b^2 AB中点坐标为(x1+x2/2,y1+y2/2)=(a^2/a^2+b^2,b^2/a^2+b^2)
又因为其与原点的直线斜率为√2/2.可以得出√2b^2=a^2.③
根据弦长公式|AB|=√(1+k^2) |x1-x2|=2√2
|x1-x2|=√(x1+x2)^2-4x1x2
得出a^4(b^2-1)+(a^2-1)b^4=a^2b^2.④
将③代入④可以解得a和b的值.
同理可以应用在当焦点在y轴的情况下