如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CD⊥AB，垂足为D，E为弧BC的中点，连接AE、BE，AE交CD于点F．（1）求证：∠AEC=90°-2∠BAE；（2）过点E作⊙O的切线，交DC的延长线于G，求证：EG=FG；（3）

Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CD⊥AB，垂足为D，E为弧BC的中点，连接AE、BE，AE交CD于点F．
（1）求证：∠AEC=90°-2∠BAE；
（2）过点E作⊙O的切线，交DC的延长线于G，求证：EG=FG；
（3）在（2）的条件下，若BE=4√(5)，CF=6，求⊙O的半径．

Answer 1

证明：（1）连接AC、BC，
∴∠CEA=∠CBA，
∵E为

BC

的中点，
∴

BE

=

CE

，
∴∠CAE=∠BAE，
∴∠CAB=2∠BAE，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴2∠BAE+∠AEC=90°，
∴∠AEC=90°-2∠BAE；

（2）连接EO，
∵OA=OE，
∴∠OEA=∠OAE，
设∠OEA=∠OAE=α，
∵EG为切线，
∴OE⊥EG，
∴∠OEG=90°，
∴∠GEA=90°-∠AEO=90°-α，
∵DG⊥AB，
∴∠FDA=90°，
∴∠FAD+∠AFD=90°，
∴∠AFD=90°-α=∠GFE，
∴∠GFE=∠GEF=90°-α，
∴GE=GF；

（3）如图3，连接CE、CB、OE、OC，CB与AE交于点N，CB与OE交于点M，
∵E为

BC

的中点，
∴∠COM=∠BOM，
∵OC=OB，
∴OM⊥BC，
∴∠OMB=90°，
由（2）得∠GEM=90°，
∴CM∥EG，
∴∠GEF=∠CNF，
∵∠GFE=∠GEF，
∴∠CFE=∠CNF，
∴CF=CN=6，
设MN=x，则CM=BM=6+x，
cos∠EBM=(MB)/(EB)=(EB)/(BN)，
∴(6+x)/(4√(5))=(4√(5))/(6+2x)，
解得：x₁=2，x₂=-11（舍），
MB=6+x=6+2=8，
由勾股定理得：ME=√(BE2-BM2)=√((4√(5))2-82)=4，
在△OBM中，设OM=m，则OE=OB=m+4，
OM²+MB²=OB²，
即m²+8²=（m+4）²，
∴OM=m=6，
∴OE=OB=6+4=10．
则⊙O的半径为10．