球体不知道半径情况下,切去部分后的球冠体积公式例如只知道球体一部分的高度和宽~或者如何推导球体半径

Question

球体不知道半径情况下,切去部分后的球冠体积公式
例如只知道球体一部分的高度和宽~或者如何推导球体半径

Answer 1

楼主呀,那不应该叫球冠,而应该叫球缺.球冠只有面积,没有体积.
首先测出球缺的高度H、球缺底面半径r.
设：球的半径是R.
有：R^2=(R-H)^2+r^2
即：R^2=R^2-2RH+r^2
解得：R=(r^2)/(2H)
球缺的体积：V＝π(H^2)(R-H/3)
将R=(r^2)/2H代入,有：
V=π(H^2)[(r^2)/(2H)-H/3]
V=πH[(r^2)/2-(H^2)/3]
楼主要是自己推的话也可以：
首先测出H、r,从而求出R.
然后建立模型：把球缺沿底面平行方向分割成薄片,每个薄片的半径是√(R^-x^2),该薄片的厚度是dx,该薄片的体积是π(R^2-x^2)dx.
对上式求定积分,积分上限是H,积分下限是0.