求证：正整数m^4+4n^4一定能表示为四个自然数的平方和我想知道详细过程以及是怎么想出来的,

Question

求证：正整数m^4+4n^4一定能表示为四个自然数的平方和
我想知道详细过程以及是怎么想出来的,

Answer 1

m^4+4n^4=(m^2+2n^2)^2-4m^2n^2
=(m^2+2n^2+2mn)(m^2+2n^2-2mn)
=[(m+n)^2+n^2][(m-n)^2+n^2]
=(m+n)^2(m-n)^2+n^2(m-n)^2+n^2(m-n)^2+n^4
=(m^2-n^2)^2+(mn+n^2)^2+(mn-n^2)^2+(n^2)^2 （1）式
因为m、n为正整数
所以 （1）式为4个自然数的平方和
所以 正整数m^4+4n^4一定能表示为四个自然数的平方和