建造一个容积为8立方米、深为2米的长方体无盖水池.池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元.建造一个容积为8立方米、深为2米的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为1

Question

建造一个容积为8立方米、深为2米的长方体无盖水池.池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元.
建造一个容积为8立方米、深为2米的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低价是多少元?（全部题目）

Answer 1

不知道你有没有学过不等式,这里用到高中数学第二册（上）中《不等式》一章的《算术平均数与几何平均数》的知识.先为你介绍下列重要的不等式：如果a,b∈R,那么a2;＋b2;≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号).证明:a2;＋b2;－2ab＝(a－b) 2; 当a≠b时(a－b) 2;＞0,当a＝b时(a－b) 2;＝0,所以 (a－b) 2;≥0 即a2;＋b2;≥2ab 由上面的结论,我们又可得到：定理：如果a,b是正数,那么(a＋b)／2≥√ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）.证明：∵(√a)2; ＋(√b)2;≥2√ab,∴a＋b≥2√ab 即(a＋b)／2≥√ab 显然,当且仅当a＝b时,(a＋b)／2＝√ab.这里,我们称(a＋b)／2为a,b的算术平均数,称√ab为a,b的几何平均数.因而,这一定理又可叙述为：两个正数的算术平均数小于它们的几何平均数.（关于这个定理还有一种几何解释,高中课本上同步介绍,我就不多加说明了.当然,如果你没有课本又想知道的话可以站短我.） 解题关键是理解上述知识,理解了就好办了.下面是解题步骤：设水池底面一边的长度为x米,则另一边的长度为8／2x米,又设水池的总造价为w元,根据题意,得 w＝120×(8／2)＋80{2×2x＋2×2×(8／2x)} ＝480＋320{x＋(4／x)} ≥480＋320×2√{x×(4／x)} ＝480＋320×2×2＝1760.当x＝4／x,即x＝2时,w有最小值1760.因此,当水池的底面是边长为2米的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是1760元.（注：“√”为根号,“／”为分数线） 因为我没有专业的编辑器,所以打不出平时书写的样式.故在书写的时候要注意根号、分数、括号的更改.有不理解的地方再问问.如果你还没有学到高中不等式,就按照Dandelion同学所回答的解法来解题吧.虽然高中知识逻辑性更强,更能解释“为什么”,但高中一些知识对初中生来说很难理解.实际上我在初中时就碰到过类似问题,当时老师只解释底面为正方形,比底面为长方形时面积小,因此造价就低,这可以通过假设比较来证明,自己试一下就能证明出来.你根据实际情况来决定吧.