正方体ABCD-A'B'C'D'中,M、N分别是面对角线AD'和BD的中点,求证（1）MN平行面CDD'C',MN垂直AD

Question

正方体ABCD-A'B'C'D'中,M、N分别是面对角线AD'和BD的中点,求证（1）MN平行面CDD'C',MN垂直AD

Answer 1

证明：取AD中点E,连结NE、ME,
则EN是三角形ABD中位线,
∴EN//AB,
而∵四边形ABCD是正方形,
∴AB//CD,
∴EN//CD,
同理∵ME是三角形ADD’的中位线,
∴ME//DD’,
∵ME∩NE=E,
∴平面MEN//平面CC’D’D,
∵MN∈平面MNE,
∴MN//平面CC’D’D,
AB⊥AD,DD’⊥AD,
由上所述,
EN//AB,ME//DD’
∴EN⊥AD,ME⊥AD,
∵ME∩NE=E,
∴AD⊥平面MNE,
∵MN∈平面MNE,
∴MN⊥AD.