如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2（根号3）,PD=CD=2.（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）证明：平面PDC⊥平面ABCD；（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．

Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2（根号3）,PD=CD=2.
（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；
（2）证明：平面PDC⊥平面ABCD；
（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

由于ABCD是矩形,AD//BC AD=BC=1
PA与BC所成角=角PAD
tanPAD=PD/AD=2/1=2

已知AD⊥PD 及ABCD是矩形
所以AD⊥DC
又PD、DC分别为平面PDC上的直线,AD为平面ABCD上的直线
一个平面内的两条直线与另一平面内的一条直线垂直,这两平面垂直
所以平面PDC与平面ABCD垂直

作过P点垂直于平面ABCD的直线 交点为Z
则Z点在平面PDC CD延长线上
三角形PZC 与三角形PDC在同一平面
在三角形PDC PD=CD=2 PC=2根号3
可知角PCD=角CPD=30度 
PZ=PC*sin角PCD=根号3
直角三角形PBC中可知PB=根号13
直线PB与平面ABCD所成角的正弦值=PZ/PB=根号(3/13)