在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DC的中点,求证：向量AE是平面A1D1F的法向量急急急！在线等，要有过程，求大神指教

Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DC的中点,求证：向量AE是平面A1D1F的法向量
急急急！在线等，要有过程，求大神指教

Answer 1

两种方法.1、建系；2、证明AE⊥平面A1FD1.
1、以A为原点,分别以AB、AD、AA1为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系,
A（0,0,0）,B（1,0,0）,C（1,1,0）,D（0,1,0）,
A1（0,0,1）,B1（1,0,1）,C1（1,1,1）,D1（0,1,1）,
E（1,0,1/2）,F（1/2,1,0）,
向量AE=(1,0,1/2),
向量A1F=（1/2,1,-1）,
向量A1D1=（0,1,0）,
∵向量AE·A1D1=0+0+0=0,
∴向量AE⊥向量A1D1,
∵向量AE·A1F=1/2+0-1/2=0,
∴向量AE⊥向量A1F,
而向量A1F和A1D1不平行,
∴向量AE⊥平面A1FD1,
即向量AE是平面A1FD1的法向量.
2、取AB中点M,
连结FM、A1M,A1M并AE于N,
∵FM//A1D1,且FM=A1D1,
∴A1、D1、F、M四点共面,
在RT△AEB和RT△A1AM中,
AA1=AB,
AM=BE=AB/2,
《EBA=〈MAA1=90°,
∴RT△AEB≌RT△A1AM,
∴〈NAM=〈AA1M,
∵〈AA1M+〈AMN=90°,
∴〈NAM+〈AMN=90°,
∴〈ANM=90°,
∴A1M⊥AE,
∵A1D1⊥平面ABB1A1,
AE∈平面ABB1A1,
∴AE⊥A1D1,
∵A1D1∩A1M=A1,
∴AE⊥平面A1MFD1,（平面A1FD1）,
∴向量AE是平面A1D1F的法向量.