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试求不大于100,且使3的n次方+7的n次方+4能被11整除的所有自然数n的和.
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试求不大于100,且使3的n次方+7的n次方+4能被11整除的所有自然数n的和.
▼优质解答
答案和解析
3的次方、7的次方对11的余数,分别有5次一循环、10次一循环的规律
3\x099\x0927\x0981\x09243\x09729\x092187\x09……
3\x099\x095\x094\x091\x093\x099\x09……
7\x0949\x09343\x092401\x0916807\x09117649\x09823543\x09……
7\x095\x092\x093\x0910\x094\x096\x099\x098\x091
则对N从1开始每10个数一循环,
3的n次方+7的n次方 被11除的余数分别为：
10\x093\x097\x097\x090\x097\x094\x093\x091\x092…
3的n次方+7的n次方+4被11除的余数分别为：
3\x097\x090\x090\x094\x090\x098\x097\x095\x096…
则当N = 10K + 3、10K+4、10K+6时,整除.
即所有符合的自然数N的和
= 3+4+6+13+14+16+……+93+94+96
= (3+……+93)+(4+……+94)+(6+……+96)
= 480+490+510
= 1480
3\x099\x0927\x0981\x09243\x09729\x092187\x09……
3\x099\x095\x094\x091\x093\x099\x09……
7\x0949\x09343\x092401\x0916807\x09117649\x09823543\x09……
7\x095\x092\x093\x0910\x094\x096\x099\x098\x091
则对N从1开始每10个数一循环,
3的n次方+7的n次方 被11除的余数分别为：
10\x093\x097\x097\x090\x097\x094\x093\x091\x092…
3的n次方+7的n次方+4被11除的余数分别为：
3\x097\x090\x090\x094\x090\x098\x097\x095\x096…
则当N = 10K + 3、10K+4、10K+6时,整除.
即所有符合的自然数N的和
= 3+4+6+13+14+16+……+93+94+96
= (3+……+93)+(4+……+94)+(6+……+96)
= 480+490+510
= 1480
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