用夹逼定理证明lim2^n/n!=0

Question

用夹逼定理证明lim2^n/n!=0

Answer 1

下面给出一般情形,另a=2即可
证明：lima的n次方/n!=0
【方法一】存在N＞2|a|,
记M=|a|^N/N!,当n＞N时,|a|^n/n!=M*[|a|/(N+1)]*[|a|/(N+2)]*……*[|a|/(n)]＜M*(1/2)*(1/2)*……*(1/2)
=M/2^(n-N),
当n＞N时,0＜|a|^n/n!＜M/2^(n-N),
而 lim(n→∞)[M/2^(n-N)]=0,
由夹逼准则知：lim(n→∞)〔a的n次方/n!〕=0.
【方法二】利用级数更简单：∑(n:0→∞)〔a的n次方/n!〕=e^a ,
根据级数收敛的必要条件 lim(n→∞)〔a的n次方/n!〕=0.