如图,已知平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD交DC于E,DF⊥BC于F,交AE于G,且AD=DF（1）若AB=5,CF=3,求DE的长（2）求证：AB=CF+DG

Question

如图,已知平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD交DC于E,DF⊥BC于F,交AE于G,且AD=DF
（1）若AB=5,CF=3,求DE的长（2）求证：AB=CF+DG

Answer 1

∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AB=CD
∴∠BAE=∠DEA．
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE．
∴∠DEA=∠DAE．
∴AD=DE．
∵AD=DF
∴DE=DF
∵AB=5,
∴CD=5
又∵CF=3,三角形CDF是直角三角形
∴根据勾股定理得DF=4
∴DE=4
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,AD=BC,AB∥DC,AD∥BC,
∴∠ABC+∠C=180°

把△DFC沿射线DA方向平移,平移距离为AD,则DC与AB重合,记平移后的三角形为△ABH,则∠AHB=∠DFC=90°,∠ABH=∠C,AH=DF,HB=FC
∵∠ABH+∠ABC=∠C+∠ABC=180°,
∴F,B,H三点共线,
∴BF+HB=BF+FC,
从而FH=BC=AD=DF=AH．
∴四边形AHFD为正方形．
∴∠ADF=90°,AH∥DF．
把△ADG绕点A顺时针旋转90°,则AD与AH重合,
∠DAG=∠HAI,∠DGA=∠HIA,∠AHI=∠ADG=90°,
∴∠AHB+∠AHI=∠AHB+∠ADG=180°,
∴I,H,B三点共线．
∵AE平分∠BAD,∴∠BAG=∠DAG,
∴∠HAB+∠BAG=∠HAB+∠DAG=∠HAB+∠HAI．
即∠HAG=∠IAB．
∵AH∥DF,
∴∠HAG=∠DGA,
∴∠BIA=∠DGA=∠BAI．
∴AB=IB．
∵IB=IH+HB=DG+CF,
∴AB=CF+DG．
 
江苏吴云超解答　供参考!