2、 如图,矩形ABCD,AB=2,AD=3,点P为AD上一点,PE⊥PC,交AB于E点,点Q在AP上不与P点重合,且QE⊥QC,(1)求证：AP·DP=AE·DC；(2)求AP+AQ的值．

Question

2、 如图,矩形ABCD,AB=2,AD=3,点P为AD上一点,PE⊥PC,交AB于E点,点Q在AP上不与P点重合,且QE⊥QC,
(1)求证：AP·DP=AE·DC；
(2)求AP+AQ的值．

Answer 1

1、证明：∵EP⊥PC
∴∠EPC=90
∴∠APE+∠CPD=90
在RT⊿PDC中
∵∠CPD+∠PCD=90
∴∠APE=∠PCD
∴RT⊿APE∽RT⊿PDC
∴AP/CD=AE/PD
即 AP*DP=AE*DC
2、证明：同理可得RT⊿EAQ∽RTQDC
∴ AE/QD=AQ/CD,即 QD*AD= AE*DC
根据证明1的结论可得
AP*DP= QD*AD
AP*(AD-AP)=(AD-AQ)*AQ
即 AP*(3-AP)=AQ*(3-AQ)
3(AP-AQ)=AP2-AQ2
3(AP-AQ)=(AP+AQ)(AP-AQ)
∵P、Q不重合
∴AP≠AQ
∴AP+AQ=3