如图四边形ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,Q为PA的中点,求证:(1)PC‖平面QBD（2）BD⊥平面PAC

Question

如图四边形ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,Q为PA的中点,求证:(1)PC‖平面QBD（2）BD⊥平面PAC

Answer 1

证明：
（1）连接AC交BD于点O,连接根据菱形的性质可知,O是AC的中点,
在△PAC中,Q是PA的中点,O是AC的中点,则可知QC是△PAC的中位线,
∴QO‖PC
∵QO属于平面QBD,∴PC‖平面QBD
（2）根据菱形的对角线互相垂直可知AC⊥BD
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD,PA⊥AB,∴∠QAB=∠QAD=90°
又∵AB=AD,QA=QA,∴△QAB≌△QAD,∴QB=QD
∵O是BD的中点,根据等腰三角形三线合一定理可知,QO⊥BD,
∵AC与QO相交于点O,且AC、QO都属于平面PAC,
∴BD⊥平面PAC