如图,在平行四边形ABCD中,点E为BC的中点,连接AE并延长DC的延长线于点F.(1)求证:AC=BF (2)当角D与角AFD满足什么数量关系时四边形ABCF是矩形,说明理由!

Question

如图,在平行四边形ABCD中,点E为BC的中点,连接AE并延长DC的延长线于点F.

(1)求证:AC=BF (2)当角D与角AFD满足什么数量关系时四边形ABCF是矩形,说明理由!

Answer 1

DF和AB平行,可知∠ECF=∠ABE,又因∠AEB=∠FEC,E为BC中点,BE=EC,所以三角形ABE和三角形FCE全等,所以AE=FE,因为BE=EC,AE=FE,∠AEC=∠FEB,所以三角形AEC和三角形FEB全等,所以AC=BF.
因为三角形ABE和三角形FCE全等,所以FC=AB,所以FC与AB平行且相等,所以ABFC为平行四边形.因为ABCD为平行四边形,所以AB=CD,所以FC=CD.
若ABCF为矩形,则∠ACF为直角,所以三角形AFC和三角形ADC全等,所以∠D和∠AFD须满足∠D=∠AFD.
证明当∠D=∠AFD时,四边形ABFC为矩形：
因为ABFC为平行四边形,所以AF=BC,因为BC=AD,所以AF=AD,因为FC=CD（前面已证明）所以三角形AFC和三角形ADC全等,所以∠ACF=∠ACD=180°/2=90°,所以平行四边形ABFC为矩形.