如图1，矩形CEFG的一边落在矩形ABCD的一边上，并且矩形CEFG～CDAB，其相似比为k，连接BG、DE．（1）试探究BG、DE的位置关系，并说明理由；（2）将矩形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）旋转任

Question

如图1，矩形CEFG的一边落在矩形ABCD的一边上，并且矩形CEFG～CDAB，其相似比为k，连接BG、DE．

（1）试探究BG、DE的位置关系，并说明理由；
（2）将矩形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）旋转任意角度α，得到图形2、图形3，请你通过观察、分析、判断（1）中得到的结论是否能成立，并选取图2证明你的判断；
（3）在（2）中，矩形CEFG绕着点C旋转过程中，连接BD、BF、DF，且k=(1)/(4)，AB=8，BC=4，△BDF的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）BG⊥DE，理由如下：
如图1，∵矩形CEFG～矩形CDAB，
∴∠BCD=∠DCE=90°，(DC)/(CE)＝(BC)/(GC)，
∴△BCG∽△DCE，
∴∠CBG=∠CDE．
延长BG交DE于M．
又∵∠CGB=∠DGM，
∴∠BCG=∠DMG=90°，
∴BG⊥DE；

（2）BG⊥DE仍然成立，理由如下：
如图2，∵矩形CEFG～矩形CDAB，
∴∠BCD=∠GCE=90°，(DC)/(CE)＝(BC)/(GC)，
∴∠BCG=∠DCE，
∴△BCG∽△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHO=90°，
∴∠DOH=90°，
∴BG⊥DE；

（3）△BDF的面积是否存在最大值与最小值．理由如下：
∵矩形CEFG～CDAB，其相似比k=(1)/(4)，BD=√(AB2+AD2)=4√(5)，
∴CF=√(5)，
∴点F的轨迹是以点C为圆心，√(5)为半径的圆．
设点C到BD的距离为h，
∴4√(5)h=8×4，
解得h=(8√(5))/(5)，
∴当点F到BD的距离为(8√(5))/(5)+√(5)=(13√(5))/(5)时，△BDF的面积有最大值，
当点F到BD的距离为(8√(5))/(5)-√(5)=(3√(5))/(5)时，△BDF的面积有最小值，
S_最大=(1)/(2)×4√(5)×(13√(5))/(5)=26，
S_最小═(1)/(2)×4√(5)×(3√(5))/(5)=6．