设Q、G分别为△ABC的外心和重心，已知A（-1，0），B（1，0），QG∥AB．（1）求点C的轨迹E．（2）轨迹E与y轴两个交点分别为A1，A2（A1位于A2下方）．动点M、N均在轨迹E上，且满足A1M⊥A1N，试问

Question

设Q、G分别为△ABC的外心和重心，已知A（-1，0），B（1，0），QG∥AB．
（1）求点C的轨迹E．
（2）轨迹E与y轴两个交点分别为A₁，A₂（A₁位于A₂下方）．动点M、N均在轨迹E上，且满足A₁M⊥A₁N，试问直线A₁N和A₂M交点P是否恒在某条定直线l上？若是，试求出l的方程；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）设C（x，y），
∵A（-1，0），B（1，0），
∴G((x)/(3)，(y)/(3))…（2分）
又∵Q是外心，且QG∥AB
∴Q(0，(y)/(3))…（2分）
∵|QA|=|QC|
∴1+(y2)/(9)＝x2+(4y2)/(9)，
即x2+(y2)/(3)＝1(y≠0)…（7分）
（2）由（1）可知A1(0，−√(3))，A2(0，√(3))，
设A₁N的方程为y＝kx−√(3)，∵A₁N⊥A₁M
∴A₁M的方程为y＝−(1)/(k)x−√(3)，
代入方程x2+(y2)/(3)＝1得：（3+k²）x²+2√(3)kx=0，…（8分）
解得x1＝0，x2＝

作业帮用户 2017-09-22 举报

问题解析

（1）设C（x，y），由A（-1，0），B（1，0），知G((x)/(3)，(y)/(3))，由Q是外心，且QG∥AB，能求出点C的轨迹E．
（2）由A1(0，−√(3))，A2(0，√(3))，设A₁N的方程为y＝kx−√(3)，由A₁N⊥A₁M，知A₁M的方程为y＝−(1)/(k)x−√(3)，
代入方程x2+(y2)/(3)＝1得（3+k²）x²+2√(3)kx=0，由此能够推导出点P在定直线y＝−2√(3)上．

名师点评

本题考点：

轨迹方程；椭圆的标准方程．

考点点评：

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

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