3x-2y-6=0关于直线l:2x-3y+1=0对称的直线l2的方程

Question

3x-2y-6=0关于直线l:2x-3y+1=0对称的直线l2的方程

Answer 1

由3x-2y-6=0和2x-3y+1=0联立求解,得其交点P（4,3）,
在3x-2y-6=0上任取一点Q（0,-3）,
设点Q关于直线2x-3y+1=0的对称点为K（m,n),
因为QK与直线2x-3y+1=0垂直,且线段QK的中点(m/2,(n-3)/2)在直线2x-3y+1=0上,
所以(n+3)/m=-2/3,2*(m/2)-3*[(n-3)/2]+1=0,
联立解得m=-40/13; n=21/13.
那么过P,K的直线的斜率为(3-21/13)/(4+40/13)=9/46
所求直线方程为y-3=9/46*(x-4)
即9x-46y+102=0.
【另法】
设所求直线上一点Q为(p,q),直线3x-2y-6=0上一点为P(x,y),则易知P点与Q点的中点在直线2x-3y+1=0上,即2•[(x+p)/2]-3•[(y+q)/2]+1=0——(1)
又经过P、Q两点的直线与2x-3y+1=0这条直线垂直,则经过P、Q两点的直线的斜率与2x-3y+1=0这条直线的斜率之积为-1,即(2/3)•[(y-q)/(x-p)]=-1——(2)
(1)(2)联立,用p、q表示x、y
再代回3x-2y-6=0即可得所求方程