已知二元概率密度怎么求分布函数（连续型）比如 2 0＜x≤y≤1f(x,y) = 0 其它求F(x,y)100分求上图片讲解,谢谢

Question

已知二元概率密度怎么求分布函数（连续型）
比如
2 0＜x≤y≤1
f(x,y) =
0 其它
求F(x,y)
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Answer 1

设以(x,y)为右上顶点的无限矩形区域为G,(其边平行于坐标轴)

则总有:F(x,y) = 在G上二重积分f(x,y).

根据本题,为方便,将x-y平面分成5个部分: D: 0＜x≤y≤1

D1:第2,3,4象限,    D2 :x>y, 0<y<1,     D3   y>1, 0<x<1.    D4:   x>1,y>1

由于:f(x,y)仅仅在D上有非零值,

故当G∩D为空时: F(x,y) = 在G上二重积分f(x,y)=0

当G∩D=D时, F(x,y) = 在G上二重积分f(x,y)=在D上二重积分f(x,y)=1

当:G∩D=A不空时,设A的面积为S,由于是均匀分布,

       有: F(x,y) = 在G上二重积分f(x,y) = 在A上二重积分f(x,y)=2*S.

由此,得:

       当(x,y) 在D上时,G∩D=A为一直角梯形,其面积为S = 0.5*[(y-x) +y]*x

       故F(x,y) =2*S =2xy - x^2;

      ,当(x,y) 在D2上时,G∩D=A为一直角三角形,其面积为S = 0.5*y^2

       故F(x,y) =2*S =y^2;

       当(x,y) 在D3上时,G∩D=A为一直角梯形,其面积为S = 0.5*[(1-x) +1]*x

       故F(x,y) =2*S =2x - x^2;

       当(x,y) 在D1上时,G∩D=为空,

       故F(x,y) =0,

       当(x,y) 在D4上时,G∩D=D

       故F(x,y) =1;

综合,得:(x,y) 在:

D               F(x,y) =2xy - x^2;

 D2上    ,F(x,y) =y^2;      

D3上     F(x,y) =2x - x^2;

D1上        F(x,y) =0,

D4 上       F(x,y)= 1

(另有附图)