已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1,且抛物线经过A（—1,0）、C（0,—3）两点,与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M,使点

Question

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1,且抛物线经过A（—1,0）、C（0,—3）两点,与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,并求出此时点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x＝1上的一动点,求使∠PCB＝90°的点P的坐标
能不能说下为什么M在直线BC

Answer 1

由于对称轴为x=1
所以可设y=a(x-1)²+b
把点(-1,0)(0,-3)代入
4a+b=0
a+b=-3
解得a=1 b=-4 y=(x-1)²-4
2 (0,-3) 关于x=1 的对称点为(2,-3)
连接点(-1,0) 和(2,-3) 与x=1的交点即为M 使得|MA|+|MC|最小
y/(x+1)=(y+3)/(x-2) x=1 交点为 (1,-2) 所以点M为(1,-2)
3 y=(x-1)²-4=(x-3)(x+1)
当y=0 (x-3)(x+1)=0
x=3 或x=-1 所以点B为(3,0)
设PC斜率为k 则y=kx-3
PB 为 y=-(x-3)/k
y=kx-3 当x=1 y=k-3 y=-(x-3)/k 当x=1 y=2/k=k-3
解得k=(3±根号下17)/2
y=4/(3±根号下17)
所以点P为 (1,4/(3+根号下17)或(1,4/(3-根号下17)