求证 1的3次方+2的3次方+.+n的3次方=【n乘（n+1）/2】的平方

Question

求证 1的3次方+2的3次方+.+n的3次方=【n乘（n+1）/2】的平方

Answer 1

1、数学归纳法：
1）当n=1时,显然成立
2）设n=k时成立,则1^3+2^3+.+k^3=[k(k+1)/2]^2
则,当n=k+1时,
1^3+2^3+.+k^3+(k+1)^3
=[k(k+1)/2]^2+(k+1)^3
=(k+1)^2[(k/2)^2+k+1]
=(k+1)^2[(k^2+4k+4)/4]
=(k+1)^2[(k+2)/2]^2
=(k+1)^2{[(k+1)+1]/2}^2
即n=k+1时也成立
综上,1^3+2^3+.+n^3 = [n(n+1)/2]^2
2、导数和微积分：
令1^3+2^3+...n^3=S(n),两边取导数,
3(1^2+2^2+...+n^2)=S '(n)
已知1^2+2^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
则有S '(n)= n(n+1)(2n+1)/2=(2n^3+3n^2+n)/2
对(2n^3+3n^2+n)/2 求积分,得到(n^4+2n^3+n^2)/4 + C = [n(n+1)/2]^2 + C(C为常数)
将n=1代入,可得得C=0
即S(n)= [n(n+1)/2]^2