已知f（ x ）是二次函数且满足f=x的4次方—2乘x的平方,求f(x)

Question

已知f（ x ）是二次函数且满足f=x的4次方—2乘x的平方,求f(x)

Answer 1

设f（x）=ax^2+bx+c,其中a≠0；
则f[f(x)]=a[ax^2+bx+c]^2+b(ax^2+bx+c)=x^4-2x^2……（*）
对照2边,x^4的系数,可知：
a^3=1→a=1
∴f（x）=x^2+bx+c
（*）式子变为：
[x^2+bx+c]^2+b[x^2+bx+c]+c=x^4-2x^2
左边式子中,x^3的系数为2b=0,→b=0（因为右边没有x^3项）
再由左边常数项为0,得到：
c^2+bc+c=0,即c^2+c=0→c=0或者c=-1
经验证,c=-1
故f（x）=x^2-1