已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）（1）若f（x0）=2，x0∈[0，π2]，求x0的值（2）在△ABC中，f（A）=2，a=5，c=1，求△ABC的面积．

Question

已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）
（1）若f（x₀）=2，x₀∈[0，(π)/(2)]，求x₀的值
（2）在△ABC中，f（A）=2，a=√(5)，c=1，求△ABC的面积．

Answer 1

函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）=2sin²x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=√(2)sin(2x−(π)/(4))+1．
（1）∵f（x₀）=2，∴√(2)sin(2x0−(π)/(4))+1=2，化为sin(2x0−(π)/(4))=(√(2))/(2)．
∵x₀∈[0，(π)/(2)]，∴(2x0−(π)/(4))∈[−(π)/(4)，(3π)/(4)]，∴2x0−(π)/(4)=(π)/(4)或(3π)/(4)，解得x₀=(π)/(4)或(π)/(2)．
（2）∵f（A）=√(2)sin(2x−(π)/(4))+1=2．
∴sin(2A−(π)/(4))=

作业帮用户 2017-11-14 举报

问题解析

由函数f（x）=2sinx（sinx+cosx），利用倍角公式、两角和差的正弦公式可得f（x）=√(2)sin(2x−(π)/(4))+1．
（1）由于f（x₀）=2，可得sin(2x0−(π)/(4))=(√(2))/(2)．再根据x₀∈[0，(π)/(2)]，可得(2x0−(π)/(4))∈[−(π)/(4)，(3π)/(4)]，即可得出；（2）由f（A）=√(2)sin(2x−(π)/(4))+1=2．可得sin(2A−(π)/(4))=(√(2))/(2)，由于A∈（0，π），可得(2A−(π)/(4))∈(−(π)/(4)，(7π)/(4))，即可解得A=(π)/(4)或(π)/(2)．分类讨论：（i）当A=(π)/(4)时，由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
解得b，再利用S△ABC＝(1)/(2)bcsinA即可得出．
（ii）当A=(π)/(2)时，利用勾股定理和三角形的面积计算公式即可得出．

名师点评

本题考点：

正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．

考点点评：

本题考查了三角函数的单调性、倍角公式、两角和差的正弦公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

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