已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos平方x(x属于R)(1)术f(x)的最小正周期,并求f(x)的最小值及取得最小值时x的值的集合?(2)g(x)=f(x+派/8)-1,若g(x)〈a-2对于x属于[-派/6,派/3]恒成立,求实数a的取值范围

Question

已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos平方x(x属于R)(1)术f(x)的最小正周期,并求f(x)的最小值及取得最小值时x的值的集合?(2)g(x)=f(x+派/8)-1,若g(x)〈a-2对于x属于[-派/6,派/3]恒成立,求实数a的取值范围

Answer 1

（1）
f(x) = 2sinxcosx+2cos²x=sin2x + cos2x + 1 = √2sin(2x + π/4) + 1
所以最小正周期T= 2π/2 = π
∵-1≤sin(2x + π/4) ≤1
∴1-√2≤√2sin(2x + π/4) + 1≤1+√2
当sin(2x + π/4)=-1即2x +π/4 = 2kπ-π/2得x = kπ-3π/8,此时f(x)取得最小值
所以f(x)的最小值为1-√2,取得最小值时x的值的集合为｛x l x = kπ-3π/8｝ (k∈Z)
(2)
g(x)=f(x+π/8)-1
=√2sin[2(x+π/8)+π/4]+1-1
=√2sin(2x+π/2)
=√2cos2x
g(x)2+√2