设随机变量X与Y的分布律如下：X01P1-P1P1Y01P1-P2P2其中0

Question

设随机变量X与Y的分布律如下：

X	0	1
P	1-P1	P1

Y	0	1
P	1-P2	P2

其中0

1<1，0

2<1，证明：如果X与Y不相关，则X与Y相互独立．

Answer 1

证明：令A={X=1}，B={Y=1}则

.

A

={X=0}，

.

B

={Y=0}
因为XY不相关，所以E（XY）-E（X）E（Y）=0
E（X）=P（A）=P{X=1}=P1，E（Y）=P（B）=P{Y=1}=P2
所以E（XY）=P1P2，而XY的取值只可能取0或1
所以E（XY）=P{XY=1}=P{X=1，Y=1}=P（AB）=P1P2=P（A）P（B）
所以A与B是相互独立的，
由此可知

.

A

与

.

B

，

.

A

与B，A与

.

B

也是相互独立的．
综上可知，X与Y是相互独立的．