点A，B，C，D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若球的表面积为，则四面体ABCD体积的最大值为．

Question

点 A，B，C，D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若球的表面积为，则四面体ABCD体积的最大值为　　　　　　．

Answer 1

　．

【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．

【专题】计算题；空间位置关系与距离．

【分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．

【解答】根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，球的半径为r，

因为球的表面积为，

所以4πr²=

所以r=，

四面体ABCD的体积的最大值，底面积S_△ABC不变，高最大时体积最大，

就是D到底面ABC距离最大值时，h=r+=2．

四面体ABCD体积的最大值为×S_△ABC×h==，

故答案为：．

【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．