椭圆的长轴长为4，焦距为2，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点（1）求椭圆的标准方程和动点

Question

椭圆 的长轴长为4，焦距为2，F ₁ 、F ₂ 分别为椭圆的左、右焦点，直线 过点 且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直 于点 ，线段 垂直平分线交 于点
（1）求椭圆 的标准方程和动点 的轨迹 的方程。
（2）过椭圆 的右焦点 作斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，求 的面积。
（3）设轨迹 与 轴交于点 ，不同的两点 在轨迹 上，
满足 求证：直线 恒过 轴上的定点。

Answer 1

椭圆 的长轴长为4，焦距为2，F ₁ 、F ₂ 分别为椭圆的左、右焦点，直线 过点 且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直 于点 ，线段 垂直平分线交 于点
（1）求椭圆 的标准方程和动点 的轨迹 的方程。
（2）过椭圆 的右焦点 作斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，求 的面积。
（3）设轨迹 与 轴交于点 ，不同的两点 在轨迹 上，
满足 求证：直线 恒过 轴上的定点。

（1）由题设知：2a = 4，即a = 2，2c=2，即c=1，
故椭圆方程为 ，      ………2分
∵MP=MF ₂ ，
∴动点M到定直线 的距离等于它到定点F ₁ （1，0）的距离，
∴动点M的轨迹是C为l ₁ 准线，F ₂ 为焦点的抛物线 
∴点M的轨迹C ₂ 的方程为    …………5分
（2）  消去  并整理得：  
设  则   ---------------7分
 = -----------9分
（3）Q（0，0），设      ------------10分
  
           ---------------------------11分
 
 
 ----------------13  分        
故直线RS恒过定点（4，0）-------------------------------------------------------14分

略