如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（2，62）．（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（√(2)，(√(6))/(2)）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．
①设直线OM的斜率为k₁，直线BP的斜率为k₂，求证：k₁k₂为定值；
②设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

（1）由题意椭圆E：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（√(2)，(√(6))/(2)），
∴c=1，(2)/(a2)+((3)/(2))/(b2)＝1
∴解得a=2，b=√(3)，
∴椭圆E的标准方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．
（2）①设P（x₀，y₀）（y₀≠0），
则直线AP的方程为：y=(y0)/(x0+2)（x+2）
令x=2得M（2，(4y0)/(x0+2)）
∴k₁=(2y0)/(x0+2)，
∵k₂=(y0)/(x0−2)，
∴k₁k₂=

2y

作业帮用户 2017-09-25 举报

问题解析

（1）由题意c=1，(2)/(a2)+((3)/(2))/(b2)＝1，解出即可；
（2）①设P（x₀，y₀）（y₀≠0），即可得出直线AP的方程，令x=2，即可得到点M的坐标，利用斜率计算公式即可得出k₁，k₂，再利用点P在椭圆上即可证明．
②利用直线的点斜式及其①的有关结论即可证明．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

熟练掌握椭圆的定义及其性质、斜率的计算公式及其直线的点斜式是解题的关键．善于利用已经证明过的结论是解题的技巧．

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