中心在原点O，焦点F1、F2在x轴上的椭圆E经过点C（2，2），且CF1•CF2=2．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和

Question

中心在原点O，焦点F₁、F₂在x轴上的椭圆E经过点C（2，2），且

CF1

•

CF2

=2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程．

Answer 1

（Ⅰ）设F₁（-c，0），F₂（c，0），

CF1

＝(−c−2，−2)，

CF2

=（c-2，-2），

CF1

•

CF2

=4-c²+4=2，解得c=√(6)，
2a=|CF₁|+|CF₂|=√((2+√(6))2+4)+√((2−√(6))2+4)=4√(3)，
解得a=2√(3)，b=√(6)，
∴椭圆E的方程：(x2)/(12)+(y2)/(6)＝1．
（Ⅱ）依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m，
代入椭圆E方程，得3x²-4mx+2m²-12=0，
由△=16m²-12（2m²-12）=8（18-m²），得m²＜18，
记A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=(4m)/(3)，x₁x₂=(2m2−12)/(3)，
圆P的圆心为（(x1+x2)/(2)，(y1+y2)/(2)），
半径r=(√(2))/(2)|x1−x2|=(√(2))/(2)√((x1+x2)2−4x1x2)，
当圆P与y轴相切时，r=|(x1+x2)/(2)|，则2x1x2＝((x1+x2)2)/(4)，
即(2(2m2−12))/(3)＝(4m2)/(9)，m²=9＜18，m=±3，
当m=3时，直线l方程为y=-x+3，
此时，x₁+x₂=4，圆心为（2，1），半径为2，
圆P的方程为（x-2）²+（y-1）²=4；
同理，当m=-3时，直线l方程为y=-x-3，
圆P的方程为（x+2）²+（y+1）²=4．