椭圆方程：3x²+4y²=12,若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点）,且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证：直线l过定点,并求出该定点的坐标.

Question

椭圆方程：3x²+4y²=12,若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点）,且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证：直线l过定点,并求出该定点的坐标.

Answer 1

解:将直线与椭圆联立方程组消去y得：
（3+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-12=0
令A(x1,y1) B(x2,y2 右顶点为D(2,0)
易知
x1+x2=-8km/(3+4k^2)
x1*x2=(4m^2-12)/(3+4k^2)
直线AD斜率k1=y1/(x1-2)
直线BD斜率k1=y2/(x2-2)
因为以AB为直径的圆过点D
所以直线PA与直线PB垂直
即 K1*K2=-1
得：4k^2+16km+7m^2=0
所以 k=-7m/2或-m/2
当k=-m/2, 定点为（2,0）即右顶点 ,不合题意
所以k=-7m/2
故定点为（2/7,0）