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(2012•房山区二模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是4,离心率为12.(Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ)设过点P(0,-2)的直线l交椭圆于M,N两点,且M,N不与椭圆的顶点重合,若以MN
题目详情
(2012•房山区二模)已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的长轴长是4,离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设过点P(0,-2)的直线l交椭圆于M,N两点,且M,N不与椭圆的顶点重合,若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A,求直线l的方程.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
1 |
2 |
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设过点P(0,-2)的直线l交椭圆于M,N两点,且M,N不与椭圆的顶点重合,若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A,求直线l的方程.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)由已知2a=4,
=
.解得a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3,
故椭圆的方程为
+
=1.…(5分)
(Ⅱ)由M,N不与椭圆的顶点重合,设直线l的方程为y=kx-2,代入椭圆方程可得(4k2+3)x2-16kx+4=0,
由△=(-16k)2-16(4k2+3)=12k2-3>0,得k<−
或k>
…(8分)
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=
,x1x2=
,y1y2=
+4
由(Ⅰ)得椭圆C的右顶点A(2,0),
因为以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A,
所以kAMkAN=-1,
∴
•
=-1,
∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,
∴
+4+
−
+4=0,
∴k2-8k+7=0,解得k=7或k=1
当k=1时,l:y=x-2,直线过椭圆C的右顶点A(2,0),舍去;
当k=7时,l:y=7x-2.
综上可知,直线l的方程是y=7x-2 …(14分)
c |
a |
1 |
2 |
故椭圆的方程为
x2 |
4 |
y2 |
3 |
(Ⅱ)由M,N不与椭圆的顶点重合,设直线l的方程为y=kx-2,代入椭圆方程可得(4k2+3)x2-16kx+4=0,
由△=(-16k)2-16(4k2+3)=12k2-3>0,得k<−
1 |
2 |
1 |
2 |
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=
16k |
4k2+3 |
4 |
4k2+3 |
−28k2 |
4k2+3 |
由(Ⅰ)得椭圆C的右顶点A(2,0),
因为以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A,
所以kAMkAN=-1,
∴
y1 |
x1−2 |
y2 |
x2−2 |
∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,
∴
−28k2 |
4k2+3 |
4 |
4k2+3 |
32k |
4k2+3 |
∴k2-8k+7=0,解得k=7或k=1
当k=1时,l:y=x-2,直线过椭圆C的右顶点A(2,0),舍去;
当k=7时,l:y=7x-2.
综上可知,直线l的方程是y=7x-2 …(14分)
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