（2012•房山区二模）已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN

Question

（2012•房山区二模）已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为(1)/(2)．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）由已知2a=4，(c)/(a)＝(1)/(2)．解得a=2，c=1，所以b²=a²-c²=3，
故椭圆的方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．…（5分）
（Ⅱ）由M，N不与椭圆的顶点重合，设直线l的方程为y=kx-2，代入椭圆方程可得（4k²+3）x²-16kx+4=0，
由△=（-16k）²-16（4k²+3）=12k²-3＞0，得k＜−(1)/(2)或k＞(1)/(2)              …（8分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=(16k)/(4k2+3)，x₁x₂=(4)/(4k2+3)，y₁y₂=(−28k2)/(4k2+3)+4
由（Ⅰ）得椭圆C的右顶点A（2，0），
因为以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，
所以k_AMk_AN=-1，
∴(y1)/(x1−2)•(y2)/(x2−2)=-1，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴(−28k2)/(4k2+3)+4+(4)/(4k2+3)−(32k)/(4k2+3)+4=0，
∴k²-8k+7=0，解得k=7或k=1
当k=1时，l：y=x-2，直线过椭圆C的右顶点A（2，0），舍去；
当k=7时，l：y=7x-2．
综上可知，直线l的方程是y=7x-2      …（14分）