已知椭圆C：()经过与两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足．求证：为定值．

Question

已知椭圆C： ( )经过 与 两点.

（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足 ．求证： 为定值．

Answer 1

（Ⅰ） （Ⅱ）①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时 ．同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时
．②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为 （ ），
则直线OM的方程为 ，设 ， ，由 解得 ， ，∴ ，同理 ，所以 ， 为定值 ． 13分

试题分析：（Ⅰ）将 与 代入椭圆C的方程，

得 解得 ， ．
∴椭圆 的方程为 ．   6分
（Ⅱ）由 ，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．
①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时
．
同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时
．
②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为 （ ），
则直线OM的方程为 ，设 ， ，
由 解得 ， ，
∴ ，同理 ，
所以 ，
故

作业帮用户 2017-09-19 举报

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