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已知椭圆C：()经过与两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足．求证：为定值．
题目详情
| 已知椭圆C：  ( )经过 与 两点. （Ⅰ）求椭圆  的方程；（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足  ．求证： 为定值． |
▼优质解答
答案和解析
| （Ⅰ）  （Ⅱ）①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时  ．同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时   ．②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为 （ ），则直线OM的方程为  ，设 ， ，由 解得 ， ，∴ ，同理 ，所以  ， 为定值 ． 13分 |
| 试题分析：（Ⅰ）将  与 代入椭圆C的方程， 得  解得 ， ．∴椭圆  的方程为 ． 6分（Ⅱ）由  ，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时 ．同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时  ．②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为 （ ），则直线OM的方程为 ，设 ， ，由 解得 ， ，∴ ，同理 ，所以  ，故
作业帮用户
2017-09-19
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