已知椭圆的中心在原点，一个焦点F1（0，-22），且离心率e满足：23，e，43成等比数列．（1）求椭圆方程；（2）直线y=x+1与椭圆交于点A，B．求△AOB的面积．

Question

已知椭圆的中心在原点，一个焦点F₁（0，-2√(2)），且离心率e满足：(2)/(3)，e，(4)/(3)成等比数列．
（1）求椭圆方程；
（2）直线y=x+1与椭圆交于点A，B．求△AOB的面积．

Answer 1

（本题满分12分）
（1）∵(2)/(3)，e，(4)/(3)成等比数列，
∴e2=(2)/(3)×(4)/(3)=(8)/(9)，∴e=(2√(2))/(3)…（1分）．
∵椭圆的中心在原点，一个焦点F₁（0，-2√(2)），
∴F₁（0，-2√(2)），c=2√(2)…（2分），
∴a=(c)/(e)=(2√(2))/((2√(2))/(3))=3，b=√(a2-c2)=1，…（4分）
∴所求方程为x²+(1)/(9)y²=1．…（5分）
（2）由

作业帮用户 2016-11-27 举报

问题解析

（1）依题意e=(2√(2))/(3)，F₁（0，-2√(2)），c=2√(2)，a=3，b=1，由此能求出椭圆方程．
（2）由

y=x+1

x2+(y2)/(9)=1

，得5x²+x-4=0，故|AB|=(9√(2))/(5)，又O到直线y=x+1的距离为(√(2))/(2)，由此能求出△AOB的面积．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；等比数列的性质；椭圆的标准方程．

考点点评：

本题考查椭圆方程和求法和三角形面积的求法，具体涉及到椭圆的基础知识，直线与椭圆的位置关系，弦长公式、点到直线的距离公式等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答．

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